metodo del punto fijo


Método de punto fijo

Definición:

Un número a tal que a = g(a) se dice un punto fijo de la función g.
Cuándo una función g tiene un punto fijo.

Teorema de punto fijo:

Si g es una función continua en [a, b] y g(x) [a, b] para todo x [a, b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x [a, b], y |g’(x)| ≤ K < 1 para todo x [a, b], K constante, entonces g tiene un único punto fijo x [a, b]. La sucesión {xn}, con n definida, se encuentra mediante la fórmula de iteración:

El comportamiento de los esquemas de punto fijo puede variar ampliamente desde la divergencia, lenta convergencia, a la rápida convergencia.

La vía más simple (aunque no más general) de caracterizar el comportamiento de la iteración de punto fijo es considerar la derivada de g en la solución x*.

Si x* = g(x*) y |g’(x*)| < 1, entonces el esquema es localmente convergente. Es decir, existe un intervalo conteniendo x* tal que el correspondiente esquema iterativo es convergente si comienza dentro del intervalo.

Un punto fijo de una función , es un número  tal que . El problema de encontrar las soluciones de una ecuación  y el de encontrar los puntos fijos de una función  son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar las soluciones de una ecuación , podemos definir una función  con un punto fijo  de muchas formas; por ejemplo. . En forma inversa, si la función  tiene un punto fijo en , entonces la función definida por posee un cero en .

El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial   y g() genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación . A la función  se le conoce como función iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesión  converge siempre y cuando  .

Ejemplo
Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuación  dentro del intervalo. [1,2]

Lo primero es buscar una función adecuada

Y claramente elegimos como función iteradora a

Además observe que

Para toda , lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.

La implementación de este método en Excel es realmente simple, como veremos.

  1. En la celda A5 escribimos nuestra aproximación inicial, en este caso 2.
  2. En la celda A6 escribimos la fórmula que calculará las aproximaciones:
  1. Por último arrastramos la celda A6 para generar las restantes aproximaciones.


En la figura 10 se muestran los resultados generados por este método.

Una desventaja potencial del método de punto fijo es que la elección de la función iteradora  no siempre es fácil.

En esta pequeña nota no hemos pretendido ser exhaustivos en la teoría ligada a los métodos numéricos expuestos, pues para esto existen muchos libros de análisis numérico que podrían consultarse ([Acton, 1990],[Akai, 1999],[Burden, 1996],, [Nieves, 1998]), la idea ha sido introducir de una forma básica el uso de Excel para la aproximación de soluciones de ecuaciones. La implementación de los métodos expuestos pueden ser mejorados con la ayuda de macros, tema que esperamos tratar en algún momento. Por lo pronto ha sido todo y hasta la próxima entrega.

El método de punto fijo se aplica a una ecuación de la forma . Se parte de una adivinanza inicial y se aplica la fórmula para . En caso de que exista , si es continua en este valor , se tiene queDe esta forma, sería una solución buscada.

Algoritmo Punto Fijo:

Entrada: Una función continua.Parámetros:

= Máximo número de iteraciones.

= Nivel de precisión respecto a la solución exacta.

= Valor inicial.

.

Inicio

.

Defina

.

Mientras :

.

.

.

Si ,

.

Salida: .

.

Parar

.

Incremente .

.

Salida: “El método fracasó después de iteraciones”.

.

Parar.

El siguiente teorema (Teorema 1) nos da algunas condiciones suficientes para la convergencia del algoritmo de punto fijo para un valor inicial escogido en un intervalo apropiado. Su demostración puede consultarse con detalle en [1].

Teorema 2 Sea una función continua en un intervalo tal que , entonces , tiene un punto fijo en .

Si además, existe en y es posible hallar una constante tal que , entonces el punto fijo de en es único.

Adicionalmente, si es continua en y , entonces para cualquier valor inicial , la sucesión definida por

converge a y

Aproxima por el método del punto fijo una raiz de la ecuación en matlab

function  p=pfijo(fun,p0,tol,maxiter)

% Aproxima por el método del punto fijo una raiz de la ecuacion fun(x)=x

%cercana p0, tomando como criterio de parada abs(fun(x)-x)<tol o la cota sobre

% el numero de iteraciones dada  por maxiter.

%

% Variables de entrada:

%     fun(x): funcion a iterar, se debe introducir con notación simbolica (eg. ‘g’)

%     x0: estimación inicial para el proceso de iteración

%     tol: tolerancia en error absoluto para la raiz

%     maxiter: maximo numero de iteraciones permitidas

%

% Variables de salida:

%     p: valor aproximado de la raiz

p(1)=p0;

for n=2:maxiter;

p(n)=feval(fun,p(n-1));

err=abs(p(n)-p(n-1));

if err<tol

break;

end

disp([‘n=’,num2str(n)]);

disp([‘f(x)=’,num2str(p(n))]);

disp([‘abs(f(x)-x)=’,num2str(err)]);

end

if n==maxiter

disp(‘se ha excedido el número de iteraciones’)

end

p’

El método de punto fijo proporciona una base para otros tipos de métodos que utilizan ecuaciones aproximadas para buscar la raíz de una ecuación no lineal.

Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma

Si la ecuación es  , entonces puede despejarse    ó bien  sumar   en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.

Ejemplos:
1) La ecuación    se puede transformar en  .
2) La ecuación     se puede transformar en   .  Dada la aproximación  , la siguiente iteración se calcula con la fórmula:

Supongamos que la raíz verdadera es  , es decir,

Restando las últimas ecuaciones obtenemos:

Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si   es contínua en    y diferenciable en  entonces  existe   tal que  .

En nuestro caso, existe    en el intervalo determinado por   y   tal que:

De aquí tenemos que:

O bien,
Tomando valor absoluto en ambos lados,

Observe que el término  es precisamente el error absoluto en la   ésima iteración, mientras que el término    corresponde al error absoluto en la   ésima iteración.

Por lo tanto, solamente si  , entonces se disminuirá el error en la siguiente iteración. En caso contrario, el error irá en aumento.

En resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la raíz si    para   en un intervalo  que contiene a la raíz y donde   es contínua y diferenciable, pero diverge si   en dicho intervalo.

Analicemos nuestros ejemplos anteriores:

  • En el ejemplo 1,   y claramente se cumple la condición de que . Por lo tanto el método sí converge a la raíz.
  • En el ejemplo 2,   y en  este caso,  . Por lo tanto, el método no converge a la raíz.

Para aclarar el uso de la fórmula veamos dos ejemplos:

Ejemplo 1
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de  , comenzando con   y hasta que  .

Solución
Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz.
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,
Con un error aproximado de

Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,

Y un error aproximado de  .

Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es:

Con un error aproximado igual al .

Ejemplo 2
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de  , comenzando con   y hasta que  .

Solución
Si despejamos la  del término lineal, vemos que la ecuación equivale a

de donde,

En este caso, tenemos que  . Un vistazo a la gráfica,

nos convence que , para , lo que es suficiente para deducir que el método sí converge a la raíz buscada.

Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:

Con un error aproximado del 100%.

Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:

Con un error aproximado igual al 28.41%.

En este ejemplo, el  método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.
0
-0.2 100%
-0.1557461506 28.41%
-0.1663039075 6.34%
-0.163826372 1.51%
-0.164410064 0.35%

De donde vemos que la aproximación buscada es:

Veremos a continuación un ejemplo del metódo de la Punto Fijo con la siguiente ecuación:

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

EJEMPLO 2

Encontrar una buena aproximación a la raíz de la siguiente función por el método del Punto Fijo:

Como puede verse, se trata de la misma función que la del ejemplo 1, pero esta vez la función ha sido despejada de una forma diferente, por lo cual se encontrará otra raíz (dado que la función tiene dos raíces, como se puede apreciar en la gráfica. Utilizando el mismo procedimiento del ejemplo 1, los resultados en Excel quedarán de esta manera:

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

EJEMPLO 3

Encontrar una buena aproximación a la raíz de la siguiente función por el método del Punto Fijo:

Los resultados en Excel quedan de esta manera:

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

EJEMPLO 4

Utilizar el método del Punto Fijo para f(x)=sin(sqrt(x))-x, siendo g(x)=sin(sqr(x)) con Xo=0.5 y h=10^(4).

Para este ejercicio, “h=10^(4)” es la tolerancia o el error. Nótese que al hacer las fórmulas en Excel se debe usar SENO( ) para sin( ) y RAIZ( ) para sqrt( ). Esto si se usa una versión en español de Microsoft Office. Los resultados en la hoja de cálculo son los siguientes:

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN f(x)=sin(sqrt(x))-x

Bibliografía

http://www.monografias.com/trabajos43/metodo-punto-fijo/metodo-punto-fijo2.shtml

http://noosfera.indivia.net/metodos/puntoFijo.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/node6.html

http://www.nebrija.es/~abustind/Industriales/Metodos/practicas/pfijo.m

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/resource/view.php?inpopup=true&id=24503

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